分析 ①先化簡(jiǎn)函數(shù)f(x),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),得到f′(x)=0的根有無(wú)數(shù)個(gè),
②函數(shù)為偶函數(shù),
③判斷函數(shù)f(x)存在大于0的實(shí)數(shù),
④根據(jù)函數(shù)的周期性進(jìn)行判斷.
解答 解:f(x)=2xsin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=xsinx,則函數(shù)f(x)為偶函數(shù),
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=sinx+xcosx,
由f′(x)=0得sinx+xcosx=0,得sinx=-xcosx,當(dāng)cosx=0時(shí),sinx=±1,此時(shí)方程無(wú)解,
則cosx≠0,即tanx=-x,此時(shí)方程tanx=-x有無(wú)數(shù)多個(gè)解,則函數(shù)y=f(x)由無(wú)數(shù)多個(gè)極值點(diǎn),故①正確,
∵f(x)=xsinx為偶函數(shù),∴?x∈R,都有f(-x)=f(x)成立,故②錯(cuò)誤,
當(dāng)x>0,且sinx>0時(shí),f(x)=xsinx>0,則③?M>0,至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0,使得f(x0)>M成立,故③正確,
函數(shù)f(x)不是周期函數(shù),故?x∈R,恒有f(x+T)=f(x)不成立,故④錯(cuò)誤,
故答案為:①③
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷,涉及函數(shù)的奇偶性,極值,周期性以及取值,考查學(xué)生的推理能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | $\frac{\sqrt{5}}{6}$ | B. | $\frac{\sqrt{13}}{4}$ | C. | $\frac{\sqrt{2}}{10}$ | D. | $\frac{\sqrt{3}}{5}$ |
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A. | ${(x-1)^2}+{y^2}=\frac{36}{25}$ | B. | ${x^2}+{(y-1)^2}=\frac{36}{25}$ | C. | (x-1)2+y2=1 | D. | x2+(y-1)2=1 |
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A. | 72 | B. | 120 | C. | 144 | D. | 288 |
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