Question

已知數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，a₁=2，a₄=16，且有a_n²=a_n-1a_n+1
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=log₂a_n，c_n=

1

bnbn+1

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用已知條件判斷數(shù)列是等比數(shù)列，求出公比，然后求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用b_n=log₂a_n，求出通項(xiàng)公式，化簡(jiǎn)c_n=

1

bnbn+1

，利用裂項(xiàng)法求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （本小題12分）
解：（1）由

a

2 n

=an-1an+1得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，則a4=a1q3
∵a₁=2，a₄=16∴16=2q³得q=2…（4分）
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為

a

n

=2n…（6分）
（2）由bn=log2an=log22n=n，得cn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…（9分）
則Tn=c1+c2+…+cn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和裂項(xiàng)法的應(yīng)用，等比數(shù)列的判斷對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查計(jì)算能力．