Question

9．對a，b∈R，記max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a（a≥b）}\\{b（a＜b）}\end{array}\right.$，則函數f（x）=max{|x+1|，x²}（x∈R）的最小值是（　�。�

• A． $\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
• B． $\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
• C． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 討論當|x+1|≥x²，|x+1|＜x²時，求出f（x）的解析式，由單調性可得最小值．

解答 解：當|x+1|≥x²，即x+1≥x²或x+1≤-x²，
解得$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$≤x≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$時，
∴f（x）=max{|x+1|，x²}=|x+1|=x+1，函數f（x）單調遞減，f（x）_min=f（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
當x＜$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，f（x）=max{|x+1|，x²}=x²，函數f（x）單調遞減，f（x）_min=f（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$）=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
當x＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$時，f（x）=x²，函數f（x）單調遞增，f（x）_min=f（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
綜上所述：f（x）_min=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查函數的最值的求法，考查絕對值不等式的解法，注意運用分類討論的思想方法，以及函數的單調性，屬于中檔題．