Question

9．已知f（x）是二次函數(shù)，不等式f（x）＜0的解集為（0，4），且在區(qū)間[-1，4]上的最大值為10．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解關于x的不等式：$\frac{2{x}^{2}+（m-8）x-{m}^{2}}{f（x）}$＞1（m＞0）．

Answer 1

分析 （1）由不等式解集的形式判斷出0，4是f（x）=0的兩個根，利用二次函數(shù)的兩根式設出f（x），求出f（x）在[-1，4]上的最大值，列出方程求出f（x）．
（2）將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，通過對兩個根的討論寫出不等式的解集

解答 解（1）∵f（x）是二次函數(shù)，且f（x）＜0的解集是（0，4），
∴0，4為一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根，
∴b=-4a，且a＞0，c=0，
∴f（x）=ax²-4ax，
又當[-1，4]時，f（x）_max=f（-1）=5a=10，
∴a=2，
∴f（x）=2x²-8x，
（2）由已知有$\frac{2{x}^{2}+（m-8）x-{m}^{2}}{2{x}^{2}-8x}$＞1，即$\frac{m（x-m）}{2x（x-4）}$＞0．
等價于x（x-m）（x-4）＞0，
∴當0＜m＜4時，不等式的解集為{x|0＜x＜m，或x＞4}，
當m=4時，不等式的解集為{x|0＜x＜4，或x＞4}，
當m＞4，不等式的解集為{x|0＜x＜4，或x＞m}．

點評 本題考查不等式的解法，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是基礎題．一元二次不等式的解集的區(qū)間端點值為對應方程的根．