Question

17．如圖，在四棱錐S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是線段AD上一點(diǎn)，AE=ED=$\sqrt{3}$，SE⊥AD．
（I）證明：BE⊥SC
（II）（文）若SE=1，求點(diǎn)E到平面SBC的距離．
（理）若SE=1，求二面角B-SC-D平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出SE⊥BE，BE⊥CE．從而BE⊥平面SEC，由此能證明BE⊥SC．
（Ⅱ）（文）過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，連接SF．推導(dǎo)出BC⊥SE，從而平面SEF⊥平面SBC．過點(diǎn)E作EG⊥SF于點(diǎn)G，則線段EG的長即為三棱錐E-SBC的高，由此能求出點(diǎn)E到平面SBC的距離．
（理）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量$\overrightarrow{EB}，\overrightarrow{EC}，\overrightarrow{ES}$分別為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-SC-D平面角的余弦．

解答 （本小題滿分12分）．
證明：（Ⅰ）∵平面SAD⊥平面ABCD且平面SAD∩平面ABCD=AD，SE?平面SAD，SE⊥AD，
∴SE⊥平面ABCD．∵BE?平面ABCD，∴SE⊥BE．
∵AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，AE=ED=$\sqrt{3}$，
∴∠AEB=30°，∠CED=60°．∴∠BEC=90°，即BE⊥CE．
又SE∩CE=E，∴BE⊥平面SEC，∵SC?平面SEC，∴BE⊥SC．
解：（Ⅱ）（文）如圖，過點(diǎn)E作EF⊥BC于點(diǎn)F，連接SF．
由（1）知SE⊥平面ABCD，而BC?平面ABCD，∴BC⊥SE，
又SE∩EF=E，∴BC⊥平面SEF，
∵BC?平面SBC，∴平面SEF⊥平面SBC．
過點(diǎn)E作EG⊥SF于點(diǎn)G，
則EG⊥平面SBC，即線段EG的長即為三棱錐E-SBC的高．
由（1）易知，BE=2，CE=2$\sqrt{3}$，
則BC=4，EF=$\sqrt{3}$．在Rt△SEF中，SE=1，SF=$\sqrt{SE2+EF2}$=2，
則EG=$\frac{ES•EF}{SF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴點(diǎn)E到平面SBC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（理）以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量$\overrightarrow{EB}，\overrightarrow{EC}，\overrightarrow{ES}$分別為x，y，z軸正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則S（0，0，1），B（2，0，0），C（0，2$\sqrt{3}$，0），D（-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{SB}$=（2，0，-1_，$\overrightarrow{SC}$=（0，2$\sqrt{3}$，-1），$\overrightarrow{CD}$=（-$\frac{3}{2}，-\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0），
設(shè)平面SBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SB}=2x-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=2\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，令z=6，則x=3，y=$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{n}$=（3，$\sqrt{3}$，6），
設(shè)平面SDC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CD}=-\frac{3}{2}a-\frac{3\sqrt{3}}{2}y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{SC}=2\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，令y=1，則x=-$\sqrt{3}$，z=2$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{m}$=（-$\sqrt{3}$，1，2$\sqrt{3}$），
設(shè)二面角B-SC-D平面角為θ，
∴cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{10\sqrt{3}}{16\sqrt{3}}$=$\frac{5}{8}$，
∴二面角B-SC-D平面角的余弦值為$\frac{5}{8}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明，考查點(diǎn)E到平面SBC的距離的求法，考查二面角平面角的余弦值的求法，注意向量法的合理運(yùn)用．