Question

10．已知橢圓C：$\frac{y^2}{a^2}$+$\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，F₁，F₂為橢圓的兩個焦點，點P在橢圓上且△PF₁F₂的周長為4+2$\sqrt{3}$．過點M（0，3）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點．
（1）．求橢圓C的方程；
（2）．若以AB為直徑的圓恰好經過橢圓C的右頂點N，求此時直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的方程可知：橢圓的焦點在y軸上，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，a+c=2+$\sqrt{3}$，求得a和c的值，由橢圓的簡單幾何性質求得b，即可求得橢圓方程；
（2）由（1）可知求得N點坐標，當斜率不存在時，$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$=-3≠0，不符合條件，當斜率存在，設l的方程為y=kx+3，代入橢圓方程，由韋達定理求得x₁+x₂和x₁•x₂，代入直線方程求得y₁•y₂，由向量數量積的坐標表示，$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$=0，代入求得k的值，求得直線l的方程．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的焦點在y軸上，
橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
△PF₁F₂的周長為2a+2c=4+2$\sqrt{3}$，即a+c=2+$\sqrt{3}$，
解得：a=2，c=$\sqrt{3}$，
b²=a²-c²=1，
∴求橢圓C的方程${x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由（1）N（1，0），由題意可知$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$=0，
當斜率不存在時，A（0，2），B（0，-2），
∴$\overrightarrow{NA}$=（-1，2），$\overrightarrow{NB}$=（-1，-2），
$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$=-3≠0，不符合條件，
當斜率存在，設斜率為k，設l的方程為y=kx+3，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+3}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，可得：（4+k²）x²+6kx+5=0，
∴△=16k²-80＞0，求得k²＞5，
x₁+x₂=-$\frac{6k}{4+{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{5}{4+{k}^{2}}$，
∴y₁•y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）=$\frac{36-4{k}^{2}}{4+4{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{NA}$•$\overrightarrow{NB}$=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂=$\frac{-3{k}^{2}+6k+45}{4+{k}^{2}}$=0，
∴k=-3或k=5，均滿足，
∴l(xiāng)的方程為：y=-3x+3或y=5x+3．

點評 本題考查橢圓的標準方程及其簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，韋達定理及向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．