Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x-1|-1，g（x）=-|x+1|-4．
（1）若函數(shù)f（x）的值不大于1，求x的取值范圍；
（2）若不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集為R，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）不等式先化為|x-1|≤2，再去掉絕對(duì)值化為-2≤x-1≤2，從而得到解集．
（2）由題意得 不等式|x-1|+|x+1|+3≥m+1恒成立，故左邊的最小值大于或等于m+1，問題化為求左邊的最小值，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得左邊的最小值．

解答 解：（1）由題意知，|x-1|-1≤1，即|x-1|≤2，-2≤x-1≤2，∴-1≤x≤3，
∴x得取值范圍是[-1，3]．
（2）由題意得 不等式f（x）-g（x）≥m+1恒成立，即|x-1|+|x+1|+3≥m+1 恒成立．
∵|x-1|+|x+1|+3≥|（x-1）-（x+1）|+3=5，∴5≥m+1，∴m≤4，
故m的取值范圍 （-∞，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的解法，以及絕對(duì)值不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．