Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{c}$|≠0，$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{c}$，則向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow{c}$的夾角是$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 可設(shè)$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow|=|\overrightarrow{c}|=m≠0$，而由$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\sqrt{3}\overrightarrow{c}$便可得到$\overrightarrow=\sqrt{3}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$，從而兩邊平方，進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算，并整理便可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$的值，根據(jù)向量夾角的范圍便可求出向量$\overrightarrow{a}$與向量$\overrightarrow{c}$的夾角．

解答 解：設(shè)$|\overrightarrow{a}|=m≠0$，則$|\overrightarrow|=|\overrightarrow{c}|=m$；
∴由$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=\sqrt{3}\overrightarrow{c}$得：$\overrightarrow=\sqrt{3}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}$，兩邊平方得：
${\overrightarrow}^{2}=3{\overrightarrow{c}}^{2}-2\sqrt{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}+{\overrightarrow{a}}^{2}$；
∴${m}^{2}=3{m}^{2}-2\sqrt{3}{m}^{2}cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞+{m}^{2}$；
整理得，$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∵$0≤＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞≤π$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=\frac{π}{6}$；
即向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$夾角為$\frac{π}{6}$．
故答案為：$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 考查向量長(zhǎng)度的概念，向量夾角的概念及其范圍，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，已知三角函數(shù)求角．