Question

18．在60°的二面角α-l-β的棱l上有兩點A，B，直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，AC⊥l．BD⊥l，若AB=4，AC=6，BD=8，則CD的長為2$\sqrt{17}$．

Answer 1

分析 利用已知條件確定＜$\overrightarrow{CA\;}，\overrightarrow{BD\;}$＞120°，利用$|\overrightarrow{CD\;}{|^2}$=${（\overrightarrow{CA\;}+\overrightarrow{AB\;}+\overrightarrow{BD\;}）^2}$，通過向量的數(shù)量積的運算求出CD的距離．

解答 解：由已知，可得AC⊥AB，BD⊥AB，
∵二面角的大小為60°，
則＜$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$＞=60°．
∴＜$\overrightarrow{CA\;}，\overrightarrow{BD\;}$＞=120°，
∴$|\overrightarrow{CD\;}{|^2}$=${（\overrightarrow{CA\;}+\overrightarrow{AB\;}+\overrightarrow{BD\;}）^2}$
=$|\overrightarrow{CA\;}{|^2}$+$|\overrightarrow{AB\;}{|^2}$+$|\overrightarrow{BD\;}{|^2}$+2$\overrightarrow{CA\;}•\overrightarrow{AB\;}$+2$\overrightarrow{CA\;}•\overrightarrow{BD\;}$+2$\overrightarrow{AB\;}•\overrightarrow{BD\;}$
=36+16+64+2×6×8×cos120°=68．
∴$CD=\sqrt{68}$=2$\sqrt{17}$．                                
故答案為：2$\sqrt{17}$

點評 本題考查空間兩點間的距離的求法，空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)二面角的大小轉(zhuǎn)化為向量的夾角關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．