Question

12．已知向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足|$\overrightarrow a$|=|$\overrightarrow b$|=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=2且（$\overrightarrow a$-$\overrightarrow c$）•（$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$）=0，則|2$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$|的最大值為$\sqrt{7}$+1．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)$\overrightarrow{a}$=（2，0），則$\overrightarrow$=（1，$\sqrt{3}$），根據(jù)數(shù)量積的幾何意義得出C的軌跡，利用點到圓的最大距離求出|2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$|的最大值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2，∴cos＜$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=60°．
設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
∵（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow-\overrightarrow{c}$）=0，
∴$\overrightarrow{CA}⊥\overrightarrow{CB}$，∴點C在以AB為直徑的圓M上．
其中M（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），半徑r=1．
延長OB到D，使得$\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow$，則D（2，2$\sqrt{3}$）．
∵2$\overrightarrow$-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{CD}$，∴|2$\overrightarrow b$-$\overrightarrow c$|的最大值為CD的最大值．
∵DM=$\sqrt{（2-\frac{3}{2}）^{2}+（2\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴CD的最大值為DM+r=$\sqrt{7}$+1．
故答案為：$\sqrt{7}$+1．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，平面向量的幾何意義，屬于中檔題．