Question

6．如圖，O為等腰三角形ABC內(nèi)一點，圓O與△ABC的底邊BC交于M、N兩點與底邊上的高AD交于點G，與AB、AC分別相切于E、F兩點．
（1）證明：EF∥BC；
（2）若AG等于⊙O的半徑，且$AE=MN=2\sqrt{3}$，求四邊形EBCF的面積．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性質(zhì)先判斷AD是∠CAB的平分線，再根據(jù)切線長定理得到AE=AF，接著利用等腰三角形的性質(zhì)判斷AD⊥EF，然后根據(jù)平行線的判定可得到結(jié)論；
（2）先證明AD是EF的垂直平分線得到O在AD上；連結(jié)OE，OM，再根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥AE，接著證明△ABC和△AEF都是等邊三角形，則根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形三邊的關系計算出OE、AO，再利用勾股定理計算出OD，然后根據(jù)等邊三角形的面積公式，利用四邊形EBCF的面積=S_△ABC-S_△AEF進行計算即可．

解答 （1）證明：∵△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，
∴AD是∠CAB的平分線，
又∵☉O分別與AB，AC相切于點E，F(xiàn)，
∴AE=AF，
∴AD⊥EF，
∴EF∥BC；
（2）解：由（1）知，AE=AF，AD⊥EF，
∴AD是EF的垂直平分線，
∴O在AD上；
連結(jié)OE，OM，
∵AB為切線，
∴OE⊥AE，
∴AG=OG=OE，
即AO=2OE，
∴∠OAE=30°，
∴∠EAF=60°，
∴△ABC和△AEF都是等邊三角形，
∴AE=2 $\sqrt{3}$，
∴OE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AE=2，AO=2OE=4，
∵OM=OE=2，DM=$\frac{1}{2}$MN=$\sqrt{3}$，
∴OD═1，
∴AD=AO+OD=5，
∴BD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴AB=2BD=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，
∴四邊形EBCF的面積=S_△ABC-S_△AEF
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（ $\frac{10\sqrt{3}}{3}$）²-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×（2 $\sqrt{3}$）²
=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構造定理圖，得出垂直關系．也考查了等腰三角形和等邊三角形的判定與性質(zhì)．記住含30度的直角三角形三邊的關系可方便求直角三角形的邊長．