Question

9．已知函數(shù)f（x）=sin2x-2$\sqrt{3}$sin²x，求f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的最小值．

Answer 1

分析 利用二倍角的余弦公式變形，兩角差的正弦公式化簡解析式，由三角函數(shù)的周期公式求出f（x）的最小正周期，由x的范圍和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的最小值．

解答 解：由題意得，f（x）=sin2x-2$\sqrt{3}$sin²x
=sin2x-$\sqrt{3}$（1-cos2x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-$\sqrt{3}$
=$2sin（2x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}$，
由T=$\frac{2π}{2}=π$得，f（x）的最小正周期是π，
由$x∈[0，\frac{2π}{3}]$得，$2x+\frac{π}{3}∈[\frac{π}{3}，π]$，
則$sin（2x+\frac{π}{3}）∈[\frac{\sqrt{3}}{2}，1]$，
即$2sin（2x-\frac{π}{3}）-\sqrt{3}∈[0，2-\sqrt{3}]$，
所以f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的最小值是0．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二倍角的余弦公式變形、兩角差的正弦公式，以及三角函數(shù)的周期公式，考查化簡、變形能力．