Question

18．已知函數(shù)f（x）=x+$\frac{m}{x}$+2（m為實(shí)常數(shù)）．
（1）若函數(shù)f（x）圖象上動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)Q（0，2）的距離的最小值為$\sqrt{2}$，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）設(shè)m＜0，若不等式f（x）≤kx在x∈[$\frac{1}{2}$，1]時(shí)有解，求k的范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y），運(yùn)用兩點(diǎn)的距離公式，結(jié)合基本不等式可得最小值，討論m的符號(hào)，即可得到所求m的值；
（2）由題意可得k≥$\frac{m}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$+1，令t=$\frac{1}{x}$，t∈[1，2]，可得k≥mt²+2t+1，令g（t）=mt²+2t+1，t∈[1，2]，要使原不等式在x∈[$\frac{1}{2}$，1]時(shí)有解，當(dāng)且僅當(dāng)k≥g（t）_min，討論g（1），g（2）的大小，即有m的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得k的范圍．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則y=x+$\frac{m}{x}$+2，
|PQ|²=x²+（y-2）²=2x²+$\frac{{m}^{2}}{{x}^{2}}$+2m≥2$\sqrt{2{x}^{2}•\frac{{m}^{2}}{{x}^{2}}}$+2m=2$\sqrt{2}$|m|+2m=2，
當(dāng)m＞0時(shí)，解得m=$\sqrt{2}$-1；當(dāng)m＜0時(shí)，解得m=-$\sqrt{2}$-1；
（2）f（x）≤kx，即為x+$\frac{m}{x}$+2≤kx，
由x∈[$\frac{1}{2}$，1]，可得k≥$\frac{m}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$+1，
令t=$\frac{1}{x}$，t∈[1，2]，可得k≥mt²+2t+1，
令g（t）=mt²+2t+1，t∈[1，2]，
要使原不等式在x∈[$\frac{1}{2}$，1]時(shí)有解，當(dāng)且僅當(dāng)k≥g（t）_min，
由m＜0，g（t）=m（t+$\frac{1}{m}$）²+1-$\frac{1}{m}$開口向下，t∈[1，2]，
當(dāng)0＜-$\frac{1}{m}$≤$\frac{3}{2}$時(shí)，即m≤-$\frac{2}{3}$，g（1）≥g（2），
可得g（t）_min=g（2）=4m+5；
當(dāng)-$\frac{1}{m}$＞$\frac{3}{2}$時(shí)，即-$\frac{2}{3}$＜m＜0，可得g（1）＜g（2），
可得g（t）_min=g（1）=m+3．
綜上可得，m≤-$\frac{2}{3}$時(shí)，k的范圍是[4m+5，+∞）；
當(dāng)-$\frac{2}{3}$＜m＜0時(shí)，k的范圍是[m+3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，同時(shí)考查不等式存在性問題的解法，注意運(yùn)用換元法和二次函數(shù)的最值的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．