Question

8．如圖1，已知四邊形BCDE為直角梯形，∠B=90°，BE∥CD，且BE=2CD=2BC=2，A為BE的中點(diǎn)．將△EDA沿AD折到△PDA位置（如圖2），連結(jié)PC，PB構(gòu)成一個(gè)四棱錐P-ABCD．

（Ⅰ）求證AD⊥PB；
（Ⅱ）若PA⊥平面ABCD．
①求二面角B-PC-D的大小；
②在棱PC上存在點(diǎn)M，滿足$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PC}$（0≤λ≤1），使得直線AM與平面PBC所成的角為45°，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出ABCD為平行四邊形，AD∥BC，AD⊥BE，AD⊥AB，AD⊥PA，從而AD⊥平面PAB，由此能證明AD⊥PB．
（Ⅱ）①以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-PC-D的大�。�
②求出平面PBC的法向量，由直線AM與平面PBC所成的角為45°，能求出λ的值．

解答 證明：（Ⅰ）在圖1中，∵AB∥CD，AB=CD，
∴ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，
∵∠B=90°，∴AD⊥BE，
當(dāng)△EDA沿AD折起時(shí)，AD⊥AB，AD⊥AE，即AD⊥AB，AD⊥PA，
又AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB，
又∵PB?平面PAB，∴AD⊥PB．
解：（Ⅱ）①以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），
$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{BC}$=（0，1，0），$\overrightarrow{DC}$=（1，0，0），
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{n}=y=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，1），
設(shè)平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=a+b-c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DC}=a=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
設(shè)二面角B-PC-D的大小為θ，
則cosθ=-$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=-$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}$=-$\frac{1}{2}$，∴θ=120°．
∴二面角B-PC-D的大小為120°．
②設(shè)AM與面PBC所成角為α，
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PM}$=（0，0，1）+λ（1，1，-1）=（λ，λ，1-λ），
平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∵直線AM與平面PBC所成的角為45°，
∴sinα=|cos＜$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AM}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|λ+1-λ|}{\sqrt{2}•\sqrt{{λ}^{2}+{λ}^{2}+（1-λ）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得λ=0或$λ=\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的便于合理運(yùn)用．