Question

5．已知數(shù)列{a_n}為正項等差數(shù)列，滿足$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{4}{{a}_{2k-1}}$≤1（其中k∈N^*，且k≥2），則a_k的最小值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由等差數(shù)列的性質(zhì)得${a}_{k}=\frac{{a}_{1}+{a}_{2k-1}}{2}$，結(jié)合$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{4}{{a}_{2k-1}}$≤1利用基本不等式求得a_k的最小值．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}為正項等差數(shù)列，且$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{4}{{a}_{2k-1}}$≤1，
∴${a}_{k}=\frac{{a}_{1}+{a}_{2k-1}}{2}$≥$\frac{{a}_{1}+{a}_{2k-1}}{2}$•（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{4}{{a}_{2k-1}}$）=$\frac{1}{2}（5+\frac{{a}_{2k-1}}{{a}_{1}}+\frac{4{a}_{1}}{{a}_{2k-1}}）$≥$\frac{1}{2}（5+2\sqrt{\frac{{a}_{2k-1}}{{a}_{1}}•\frac{4{a}_{1}}{{a}_{2k-1}}}）$=$\frac{9}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{4}{{a}_{2k-1}}$=1，且$\frac{{a}_{2k-1}}{{a}_{1}}=\frac{4{a}_{1}}{{a}_{2k-1}}$，即a₁=3，a_2k-1=6時上式等號成立．
∴a_k的最小值為$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．