Question

14．已知F₁、F₂是橢圓C的兩個焦點，P為橢圓上一點，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，且△PF₁F₂的面積和周長均為為16，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 由題意可知：當(dāng)焦點在x軸上時，$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），由勾股定理可知丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨²+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨²=（2c）²，利用三角的面積公式，周長公式及橢圓的性質(zhì)可求得a+c=8，a²-c²=16，即可求得a，b和c的值，求得橢圓方程，同理可求得焦點在x軸上時的橢圓方程．

解答 解：當(dāng)橢圓的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$⊥$\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
由勾股定理可知：丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨²+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨²=（2c）²，
△PF₁F₂三角形的面積S=$\frac{1}{2}$丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨•丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=16，
∴丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨•丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=32，
由橢圓的性質(zhì)可知：丨$\overrightarrow{P{F}_{1}}$丨+丨$\overrightarrow{P{F}_{2}}$丨=2a，
∴4a²-2×32=4c²，即a²=c²+16，
∴b=4，
且△PF₁F₂周長l=2a+2c=16，
∴a+c=8，
∴解得：a=5，c=3，
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
當(dāng)橢圓的焦點在y軸時，同理可求得橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$，
綜上可知：橢圓的焦點在x軸上，橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
當(dāng)橢圓的焦點在y軸時，橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{25}=1$．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)，三角形的面積公式，考查計算能力，屬于中檔題．