Question

13．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，sinα=$\frac{4}{5}$，cos（α-β）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，則β的值為$\frac{3π}{4}$．

Answer 1

分析 由已知角的范圍求得α-β的范圍，結(jié)合已知求得cosα及sin（α-β），再利用cosβ=cos（-β）=cos[（α-β）-α]，展開兩角差的余弦得答案．

解答 解：由0＜α＜$\frac{π}{2}$＜β＜π，得-π＜α-β＜0，
∴由sinα=$\frac{4}{5}$，得cosα=$\frac{3}{5}$，
又cos（α-β）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
∴sin（α-β）=$-\sqrt{1-co{s}^{2}（α-β）}=-\sqrt{1-（\frac{\sqrt{2}}{10}）^{2}}=-\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
則cosβ=cos（-β）=cos[（α-β）-α]=cos（α-β）cosα+sin（α-β）sinα
=$\frac{\sqrt{2}}{10}×\frac{3}{5}+（-\frac{7\sqrt{2}}{10}）×\frac{4}{5}$=$-\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$β=\frac{3π}{4}$．
故答案為：$\frac{3π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)，關(guān)鍵是“拆角配角”思想的運(yùn)用，是中檔題．