Question

14．秦九韶是我國古代數(shù)學(xué)家的杰出代表，他將一元n（n∈N^*）次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化為n個(gè)一次式的算法叫秦九韶算法．如果沒有秦九韶算法，人們在編程求axⁿ（a≠0，1）值時(shí)需要設(shè)計(jì)n次乘法運(yùn)算，現(xiàn)在利用秦九韶算法編程求f（x）=（n+1）xⁿ+nx^n-1+…+2x+1，當(dāng)x=0.2的值時(shí)，所需乘法運(yùn)算的次數(shù)比沒有秦九韶算法所需乘法運(yùn)算的次數(shù)少了（　　）

• A． $\frac{{n}^{2}+n}{2}$
• B． $\frac{{n}^{2}-n}{2}$
• C． $\frac{{n}^{2}+n-2}{2}$
• D． n

Answer 1

分析 f（x）=（n+1）xⁿ+nx^n-1+…+2x+1=（…（（n+1）x+n）x+…+2）x+1，因此當(dāng)x=0.2的值時(shí)，所需乘法運(yùn)算的次數(shù)為n，而沒有秦九韶算法所需乘法運(yùn)算的次數(shù)為：n+（n-1）+…+1，即可得出．

解答 解：f（x）=（n+1）xⁿ+nx^n-1+…+2x+1=（…（（n+1）x+n）x+…+2）x+1，
因此當(dāng)x=0.2的值時(shí)，所需乘法運(yùn)算的次數(shù)為n，
而沒有秦九韶算法所需乘法運(yùn)算的次數(shù)為：n+（n-1）+…+1=$\frac{n（n+1）}{2}$．
∴$\frac{n（n+1）}{2}$-n=$\frac{{n}^{2}-n}{2}$．
∴當(dāng)x=0.2的值時(shí)，所需乘法運(yùn)算的次數(shù)比沒有秦九韶算法所需乘法運(yùn)算的次數(shù)少了$\frac{{n}^{2}-n}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了秦九韶算法、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．