Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x+2|-|x-3|．
（1）試求f（x）的值域；
（2）設(shè)g（x）=$\frac{a{x}^{2}-5x+5}{x}（a＞0）$，若對任意x₁∈（0，+∞），任意x₂∈（-∞，+∞）恒有g(shù)（x₁）≥f（x₂）成立，試求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化為分段函數(shù)，即可求出函數(shù)的值域，
（2）根據(jù)基本不等式求出g（x）_min，若任意x₁∈（0，+∞），任意x₂∈（-∞，+∞）恒有g(shù)（x₁）≥f（x₂）成立，則有g(shù)（x）_min＞f（x）_max，即可得到關(guān)于a的不等式，解得即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-5，x≤-2}\\{2x-1，-2＜x＜3}\\{5，x≥3}\end{array}\right.$，
∴f（x）的值域為[-5，5]，
（2）若x＞0，則g（x）=$\frac{a{x}^{2}-5x+5}{x}$=ax+$\frac{5}{x}$-5≥2$\sqrt{5a}$-5，
當(dāng)ax²=5時，g（x）_min=2$\sqrt{5a}$-5，
由（1）知，f（x）_max=5，
若任意x₁∈（0，+∞），任意x₂∈（-∞，+∞）恒有g(shù)（x₁）≥f（x₂）成立，
則有g(shù)（x）_min＞f（x）_max，
∴2$\sqrt{5a}$-5≥5，
解得a≥5，
故a的取值范圍為[5，+∞）

點評 本題考查了絕對值函數(shù)，和不等式恒成立的問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．