Question

17．一場晚會有3個唱歌節(jié)目和2個舞蹈節(jié)目，要求排出一個節(jié)目單．（用數(shù)字作答）
（1）前3個節(jié)目中要有舞蹈，有多少種排法？
（2）2個舞蹈節(jié)目要排在一起，有多少種排法？
（3）2個舞蹈節(jié)目彼此要隔開，有多少種排法？

Answer 1

分析 （1）先不考慮限制條件，5個節(jié)目全排列有A₅⁵=120種方法，前3個節(jié)目中要有舞蹈的否定是前3個節(jié)目全是唱歌有A₃³A₂²=12種方法，用所有的排列減去不符合條件的排列，得到結(jié)果．
（2）要把2個舞蹈節(jié)目要排在一起，則可以采用捆綁法，把2個舞蹈節(jié)目看做一個元素和另外3個元素進(jìn)行全排列，不要忽略三個舞蹈節(jié)目本身也有一個排列．
（3）2個舞蹈節(jié)目彼此要隔開，可以用插空法來解，即先把3個唱歌節(jié)目排列，形成4個位置，選2個把舞蹈節(jié)目排列．

解答 解（1）∵5個節(jié)目全排列有A₅⁵=120種方法，
若前3個節(jié)目中要有舞蹈的否定是前3個節(jié)目全是唱歌有A₃³A₂²=12種方法，
∴前4個節(jié)目中要有舞蹈有120-12=108種方法；
（2）∵2個舞蹈節(jié)目要排在一起，
∴可以把2個舞蹈節(jié)目看做一個元素和另外3個元素進(jìn)行全排列，
三個舞蹈節(jié)目本身也有一個排列有A₄⁴A₂²=48種方法；
（3）2個舞蹈節(jié)目彼此要隔開，可以用插空法來解，
先把3個唱歌節(jié)目排列，形成4個位置，選2個把舞蹈節(jié)目排列，
有A₃³A₄²=72種方法．

點評 本題是一個排列組合典型，文科在高考時能考到，理科近幾年單獨考查排列組合的題目都是以選擇和填空出現(xiàn)，實際上所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一個階段（排序）可轉(zhuǎn)化為排列問題．