Question

20．已知直線l與圓C：x²+y²+2x-4y+a=0相交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為M（0，1）．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及直線l的方程；
（2）若圓C上存在動(dòng)點(diǎn)N使CN=2MN成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用兩直線垂直，求出k_AB=-1，從而求出直線方程；
（2）首先求出圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程，依題意兩圓有公共點(diǎn)，所以圓心間距小于兩圓半徑之和．

解答 解：（1）圓C：（x+1）²+（y-2）²=5-a，C（-1，2），r=$\sqrt{5-a}$（a＜5）
據(jù)題意：CM=$\sqrt{2}$＜$\sqrt{5-a}$⇒a＞3
因?yàn)镃M⊥AB，⇒k_cmk_AB=-1，k_cm-1⇒k_AB=-1
所以直線l的方程為x-y+1=0；
（2）由CN=2MN，得$（x-\frac{1}{3}）^{2}+（y-\frac{2}{3}）^{2}=\frac{8}{9}$，
依題意，圓C與圓$（x-\frac{1}{3}）^{2}+（y-\frac{2}{3}）^{2}=\frac{8}{9}$有公共點(diǎn)，
故$|\frac{2}{3}\sqrt{2}-\sqrt{5-a}|≤\frac{4}{3}\sqrt{2}≤\frac{2}{3}\sqrt{2}+\sqrt{5-a}$
解得：-3$≤\\;a$ a≤$\frac{37}{9}$；
又因?yàn)橛桑?）知a＜3，所以-3≤a＜3．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓的基礎(chǔ)知識(shí)，直線方程以及圓與圓的位置關(guān)系，屬中等題．