Question

4．已知函數y=f（x）是定義在R上的偶函數，對于x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，且f（-4）=-2，當x₁，x₂∈[0，2]，且x₁≠x₂時，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，則下列命題錯誤的是（　　）

• A． f（2016）=-2
• B． 函數y=f（x）的一條對稱軸為x=-6
• C． 函數y=f（x）在[-8，-6]上為減函數
• D． 函數y=f（x）在[-9，9]上有4個根

Answer 1

分析 逐項判斷各項正誤．正確把所給條件進行變形是解決本題的關鍵．

解答 解：由f（x+4）=f（x）+f（2）可得f（2）=f（-2+4）=f（-2）+f（2），
∴f（-2）=f（2）=0，∴f（x+4）=f（x），∴函數f（x）為周期為4的周期函數．故有f（2016）=f（-4）=f（0）-f（2）=-2，故A正確；
由f（x+4）=f（x）得f（-x）=f（-x）=f（x），∴函數f（x）的一條對稱軸為x=2，又其周期為4，所以x=2-8=6也是其圖象的對稱軸，故B正確；
∵當x₁，x₂∈[0，2]，且x₁≠x₂時，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，∴函數f（x）在[0，2]上為增函數，又其周期為4，故在[-8，-6]上也為增函數，故C錯誤；
由f（-4）=f（0）=-2，且函數在[0，2]上遞增，故在[0，2]上有且只有f（2）=0，∵f（x）是偶函數，且周期為4，∴在區(qū)間[-9，9]上有且只有f（-2）=f（2）=f（6）=f（-6），故函數f（x）在[-9，9]上有4個根，故D正確．
故答案選C．

點評 本題考查函數的基本性質，屬于較難題．