Question

2．已知函數(shù)f（x）的定義域是x≠0的一切實(shí)數(shù)，對(duì)定義域內(nèi)的任意a，b都有f（a•b）=f（a）+f（b），當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0．
（1）證明f（x）是偶函數(shù)；
（2）證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先求出f（1）=f（-1）=0，再令a=x，b=-1得出f（-x）=f（x）；
（2）設(shè)x₁＞x₂＞0，則f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•{x}_{2}$）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂），故f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，得出結(jié)論．

解答 證明：（1）令a=b=1得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．
令a=b=-1得f（1）=2f（-1）=0，∴f（-1）=0．
令a=x，y=-1得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（-x），
∴f（x）是偶函數(shù)．
（2）設(shè)x₁＞x₂＞0，則f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•{x}_{2}$）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$），
∵x₁＞x₂＞0，∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1．
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性，對(duì)稱性的證明，屬于中檔題．