Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-3x-m．
（1）當(dāng)m=0時，求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m+$\frac{1}{4}$，1）上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m取值范圍；
（3）若函數(shù)y=2x-lnx（x∈[1，4]）的圖象總在函數(shù)y=f（x）圖象的上方，求實(shí)數(shù)m取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出函數(shù)的極小值；
（2）由（1）要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（m+$\frac{1}{4}$，1）上是單調(diào)函數(shù)，只能為減函數(shù)，即可求出m的取值范圍；
（3）分離參數(shù)，已知可化為m＞x²-5x+2lnx，x∈[1，4]恒成立，設(shè)g（x）=x²-5x+2lnx，x∈[1，4]，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識容易解決問題．

解答 解：（1）f（x）=lnx+x²-3x（x＞0），$f'（x）=\frac{（2x-1）（x-1）}{x}（x＞0）$，$f'（x）=0⇒x=\frac{1}{2}，1$，

x	（0，0.5）	0.5	（0.5，1）	1	（1，+&）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

∴$f（x）在（0，\frac{1}{2}），（1，+∞）增，在（\frac{1}{2}，1）減$，
∴f（x）_極小值=f（1）=-2，
（2）由（1）要使函數(shù)f（x）在區(qū)間（m+$\frac{1}{4}$，1）上是單調(diào)函數(shù)，只能為減函數(shù)，
∴$\frac{1}{2}$≤m+$\frac{1}{4}$＜1，
∴$\frac{1}{4}$≤m＜$\frac{3}{4}$，
故m的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$），
（3）已知可化為m＞x²-5x+2lnx，x∈[1，4]恒成立，
設(shè)g（x）=x²-5x+2lnx，x∈[1，4]，
$g'（x）=\frac{（2x-1）（x-2）}{x}，⇒g'（x）=0⇒x=\frac{1}{2}，2；x∈[1，4]$…．
∴g（x）在（2，4）增，在（1，2）減，
∵g（1）=-4＜g（4）=-4+4ln2，
∴g（x）_max=g（4）=-4+4ln2，
∴m＞-4+4ln2．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性以及不等式恒成立問題，一般是轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，能分離參數(shù)的盡量分離參數(shù)，注意導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)最值問題中的應(yīng)用．