【題目】如圖,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F分別為AC,DC的中點.
(1)求證:EF⊥BC;
(2)求二面角E-BF-C的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】
(1)先證明BC⊥平面EFO,即證EF⊥BC.(2)利用向量法求二面角E-BF-C的正弦值.
(1)證明:如圖,過E作EO⊥BC,垂足為O,連接OF,
由題意得△ABC≌△DBC,可證出△EOC≌△FOC,
所以∠EOC=∠FOC=,即FO⊥BC,
又EO⊥BC,EO∩FO=O,
因此BC⊥平面EFO.又EF平面EFO,
所以EF⊥BC.
(2)證明:由題意,以B為坐標原點,在平面DBC內過B作垂直于BC的直線為x軸,BC所在直線為y軸,在平面ABC內過B作垂直BC的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,易得B(0,0,0),A(0,-1,),D(,-1,0),C(0,2,0),
因而E(0,,), F(,,0),
由題得平面BFC的一個法向量為n1=(0,0,1).
設平面BEF的法向量為n2=(x,y,z),
又=(,,0),=(0,,),由
得其中一個n2=(1,-,1).
設二面角E-BF-C的大小為θ,且由題意知θ為銳角,
則cos θ=|cos〈n1,n2〉|==,
因此sin θ==,即二面角E-BF-C的正弦值為.
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【題目】二次函數圖象上部分點的橫坐標x,縱坐標y的對應值如下表:
x | … | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | … |
… | 5 | 0 | -3 | -4 | -3 | m | … |
(1)m= ;
(2)在圖中畫出這個二次函數的圖象;
(3)當時,x的取值范圍是 ;
(4)當時,y的取值范圍是 .
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【題目】農科院的專家為了了解新培育的甲、乙兩種麥苗的長勢情況,從種植有甲、乙兩種麥苗的兩塊試驗田中各抽取6株麥苗測量株高,得到的數據如下(單位:cm):
甲:9,10,11,12,10,20;
С:8,14,13,10,12,21.
(1)選擇合適的統(tǒng)計圖表表示上述數據;
(2)分別計算兩組數據的平均數與方差,并由此判斷甲、乙兩種麥苗的長勢情況.
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【題目】,兩組各有7位病人,他們服用某種藥物后的康復時間(單位:天)記錄如下:
組:10,11,12,13,14,15,16
組:12,13,15,16,17,14,
假設所有病人的康復時間互相獨立,從,兩組隨機各選1人,組選出的人記為甲,組選出的
人記為乙.
(Ⅰ)求甲的康復時間不少于14天的概率;
(Ⅱ)如果,求甲的康復時間比乙的康復時間長的概率;
(Ⅲ)當為何值時,,兩組病人康復時間的方差相等?(結論不要求證明)
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【題目】某中學調查了某班全部名同學參加書法社團和演講社團的情況,數據如下表:(單位:人)
參加書法社團 | 未參加書法社團 | |
參加演講社團 | ||
未參加演講社團 |
(1)從該班隨機選名同學,求該同學至少參加上述一個社團的概率;
(2)在既參加書法社團又參加演講社團的名同學中,有5名男同學名女同學現從這名男同學和名女同學中各隨機選人,求被選中且未被選中的概率.
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【題目】設數列的前項和,
(1)求數列的通項公式;
(2)令,記數列前n項和為,求;
(3)利用第二問結果,設是整數,問是否存在正整數n,使等式成立?若存在,求出和相應的值;若不存在,說明理由.
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【題目】某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表.
身高/ | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 | 110 | 120 | 130 | 140 | 150 | 160 | 170 |
體重/ | 6.13 | 7.90 | 9.99 | 12.15 | 15.02 | 17.50 | 20.92 | 26.86 | 31.11 | 38.85 | 47.25 | 55.05 |
(1)根據表格提供的數據,能否建立恰當的函數模型,使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高的函數關系?試寫出這個函數模型的關系式.
(2)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖,低于0.8倍為偏瘦,那么這個地區(qū)一名身高為,體重為的在校男生的體重是否正常?
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【題目】以下命題,①若實數,則.
②歸納推理是由特殊到一般的推理,而類比推理是由特殊到特殊的推理;
③在回歸直線方程中,當變量每增加一個單位時,變量一定增加0.2單位.
④“若,則復數”類比推出“若,則”;
正確的個數是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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