Question

3．已知二次函數(shù)f（x）=x²-4x+a+3，
（1）若函數(shù)y=f（x）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=f（x），x∈[t，4]的值域?yàn)閰^(qū)間D，是否存在常數(shù)t，使區(qū)間D的長(zhǎng)度為7-2t？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（注：區(qū)間[p，q]的長(zhǎng)度為q-p）．

Answer 1

分析 （1）由題意可得-a-3=x²-4x在[-1，1]上有解，求得y=x²-4x在[-1，1]的最值，即可得到所求a的范圍；
（2）對(duì)t討論，分t≥2，t=0，0＜t＜2，t＜0，運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性，可得最值，結(jié)合區(qū)間的長(zhǎng)度，解方程即可得到所求t的值．

解答 解：（1）函數(shù)y=f（x）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，可得：
x²-4x+a+3=0即-a-3=x²-4x在[-1，1]上有解，
由y=x²-4x在[-1，1]上遞減，可得最小值為-3，最大值為5．
即有-3≤-a-3≤5，解得-8≤a≤0；
（2）函數(shù)y=f（x），x∈[t，4]，
當(dāng)t≥2時(shí)，區(qū)間[t，4]為增區(qū)間，
即有函數(shù)的值域?yàn)閇t²-4t+a+3，a+3]，
由a+3-（t²-4t+a+3）=7-2t，解得t=3+$\sqrt{2}$（3-$\sqrt{2}$舍去）；
當(dāng)t=0時(shí)，f（x）在[0，2]遞減，（2，4]遞增，可得最小值為-1，最大值為3．
3-（-1）=4≠7-2t；
當(dāng)t＜0時(shí)，f（t）＞f（4），f（x）在[t，4]的最小值為a-1，最大值為f（t）=t²-4t+a+3，
由t²-4t+a+3-a+1=7-2t，即t²-2t-3=0，解得t=-1（3舍去）；
當(dāng)0＜t＜2時(shí)，f（t）＜f（4），f（x）在[t，4]的最小值為a-1，最大值為f（4）=a+3，
由a+3-a+1=7-2t，即7-2t-4=0，解得t=$\frac{3}{2}$．
綜上可得，存在常數(shù)t=3+$\sqrt{2}$，-1或$\frac{3}{2}$，使區(qū)間D的長(zhǎng)度為7-2t．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的解法，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和二次函數(shù)的最值求法，同時(shí)考查二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，注意運(yùn)用分類討論的思想方法，考慮對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．