6.已知橢圓M:x2+2y2=2.
(Ⅰ)求橢圓M的離心率;
(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),A,B,C為橢圓M上的三個動點(diǎn),若四邊形OABC為平行四邊形,判斷△ABC的面積是否為定值,并說明理由.

分析 (Ⅰ)橢圓M化為標(biāo)準(zhǔn)方程,由此能求出橢圓M的離心率.
(Ⅱ)若B是橢圓的右頂點(diǎn)(左頂點(diǎn)一樣),此時AC垂直平分OB,求出△OAC的面積為$\frac{\sqrt{6}}{4}$;若B不是橢圓的左右頂點(diǎn),設(shè)AC:y=kx+m,k≠0,由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-20=0,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式求出△ABC的面積,從而得到△ABC的面積為定值$\frac{\sqrt{6}}{4}$.

解答 解:(Ⅰ)∵橢圓M:x2+2y2=2,
∴橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為:$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$,
∴a=$\sqrt{2}$,b=1,c=1,
∴橢圓M的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(Ⅱ)①若B是橢圓的右頂點(diǎn)(左頂點(diǎn)一樣),此時AC垂直平分OB,
∴A($\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{3}}{2}$),C($\frac{\sqrt{2}}{2}$,-$\frac{\sqrt{3}}{2}$),B($\sqrt{2}$,0),
|AC|=$\sqrt{3}$,|OB|=$\sqrt{2}$,
∴△OAC的面積${S}_{△OAC}=\frac{1}{2}|AC|•\frac{1}{2}|OB|$=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}=\frac{\sqrt{6}}{4}$.
②若B不是橢圓的左右頂點(diǎn),設(shè)AC:y=kx+m,k≠0,A(x1,y1),B(x2,y2),
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-20=0,
△=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)>0,
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$,${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$,
y1+y2=k(x1+x2)+2m=$\frac{2m}{2{k}^{2}+1}$,
∵四邊形OABC為平行四邊形,
∴OB=OA+OC=(x1+x2,y1+y2)=(-$\frac{4km}{2{k}^{2}+1}$,$\frac{2m}{2{k}^{2}+1}$),
∴B(-$\frac{4km}{2{k}^{2}+12}$,$\frac{2m}{{k}^{2}+1}$),
代入橢圓方程,化簡,得2k2+14=m2,
∵|AC|=$\sqrt{({x}_{1}-{x}_{2})^{2}+({y}_{1}-{y}_{2})^{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{({x}_{1}+{x}_{2})^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{(-\frac{4km}{2{k}^{2}+1})^{2}-\frac{4(2{m}^{2}-2)}{2{k}^{2}+1}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{22}•\sqrt{2{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{2{k}^{2}+1}$
=$\frac{\sqrt{6}•\sqrt{1+{k}^{2}}}{2|m|}$,
點(diǎn)O到直線AC的距離d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴△OAC的面積S△OAC=$\frac{1}{2}|AC|d$
=$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}\sqrt{1+{k}^{2}}}{2|m|}×\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$\frac{\sqrt{6}}{4}$.
綜上,△OAC的面積為定值$\frac{\sqrt{6}}{4}$,
∵△OAC的面積=△ABC的面積,
∴△ABC的面積為定值$\frac{\sqrt{6}}{4}$.

點(diǎn)評 本題考查橢圓的離心率的求法,考查三角形的面積是否為定值的判斷與求法,是中檔題,解題時要認(rèn)真審題,注意根的判別式、韋達(dá)定理、弦長公式、橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用.

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