Question

4．已知△ABC的面積為1，在△ABC內(nèi)任取一點P，則△PBC的面積小于$\frac{1}{3}$的概率為$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 在三角形ABC內(nèi)部取一點P，要滿足得到的三角形PBC的面積是原三角形面積的$\frac{1}{3}$，根據(jù)幾何關(guān)系求解出它們的比例即可．

解答 解：記事件A={△PBC的面積大于$\frac{1}{3}$}，
基本事件是三角形ABC的面積，（如圖）
事件A的幾何度量為圖中陰影部分的面積（D、E分別是三角形的邊上的三等分點），
∵△ADE∽△ABC，且相似比為$\frac{2}{3}$，
∴陰影部分的面積是整個三角形面積的$\frac{4}{9}$，
∴P（A）=$\frac{4}{9}$，
∴△PBC的面積小于$\frac{1}{3}$的概率是1-P（A）=1-$\frac{4}{9}$=$\frac{5}{9}$．
故答案為：$\frac{5}{9}$．

點評 本題考查了幾何概型，解答此題的關(guān)鍵在于明確測度比是面積比．對于幾何概型常見的測度是長度之比，面積之比，體積之比，角度之比，要根據(jù)題意合理的判斷和選擇是哪一種測度進行求解．屬于中檔題．