Question

4．已知△ABC的面積為1，在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則△PBC的面積小于$\frac{1}{3}$的概率為$\frac{5}{9}$．

Answer 1

分析 在三角形ABC內(nèi)部取一點(diǎn)P，要滿(mǎn)足得到的三角形PBC的面積是原三角形面積的$\frac{1}{3}$，根據(jù)幾何關(guān)系求解出它們的比例即可．

解答 解：記事件A={△PBC的面積大于$\frac{1}{3}$}，
基本事件是三角形ABC的面積，（如圖）
事件A的幾何度量為圖中陰影部分的面積（D、E分別是三角形的邊上的三等分點(diǎn)），
∵△ADE∽△ABC，且相似比為$\frac{2}{3}$，
∴陰影部分的面積是整個(gè)三角形面積的$\frac{4}{9}$，
∴P（A）=$\frac{4}{9}$，
∴△PBC的面積小于$\frac{1}{3}$的概率是1-P（A）=1-$\frac{4}{9}$=$\frac{5}{9}$．
故答案為：$\frac{5}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了幾何概型，解答此題的關(guān)鍵在于明確測(cè)度比是面積比．對(duì)于幾何概型常見(jiàn)的測(cè)度是長(zhǎng)度之比，面積之比，體積之比，角度之比，要根據(jù)題意合理的判斷和選擇是哪一種測(cè)度進(jìn)行求解．屬于中檔題．