19.已知函數(shù)f(x)=x2-mx+1-m2,若|f(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增,則實數(shù)m的取值范圍-1≤m≤0或m≥2.

分析 分判別式大于或等于0以及判別式小于0兩種情況討論,然后結合二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.

解答 解:△=m2-4(1-m2)=5m2-4,函數(shù)的對稱軸為x=$\frac{m}{2}$,
①當△=0時,5m2-4=0,即m=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,
若m=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,則對稱軸為x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$∈[0,1],則在[0,1]上不單調(diào)遞增,不滿足條件.
若m=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,則對稱軸為x=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$<0,則在[0,1]上單調(diào)遞增,滿足條件.
②當△<0時,-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$<m<$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,此時f(x)>0恒成立,若|f(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增,
則x=$\frac{m}{2}$≤0,即m≤0,此時,-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$<m≤0.
③當△>0,m<-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$或m>$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,對稱軸為x=$\frac{m}{2}$.
當m<-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$時,對稱軸為x=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$<0,要使|f(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增,
則只需要f(0)≥0即可,此時f(0)=1-m2≥0,得-1≤m≤1,
此時-1≤m<-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$.
若m>$\frac{2\sqrt{5}}{5}$,對稱軸為x>$\frac{\sqrt{5}}{5}$,則要使|f(x)|在[0,1]上單調(diào)遞增,
此時f(0)=1-m2>0,只需要對稱軸$\frac{m}{2}$≥1,所以m≥2.
此時m≥2,
綜上-1≤m≤0或m≥2,
故答案為:-1≤m≤0或m≥2

點評 本題考查二次函數(shù)單調(diào)性的應用.要注意分情況討論.分類合理,不重不漏.綜合性較強,難度較大.

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