Question

11．面對(duì)環(huán)境污染黨和政府高度重視，各級(jí)環(huán)保部門制定了嚴(yán)格措施治理污染，同時(shí)宣傳部門加大保護(hù)環(huán)境的宣傳力度，因此綠色低碳出行越來(lái)越成為市民的共識(shí)，為此某市在八里湖新區(qū)建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng)，市民憑本人二代身份證到公共自行車服務(wù)中心辦理誠(chéng)信借車卡，初次辦卡時(shí)卡內(nèi)預(yù)先贈(zèng)送20分，當(dāng)誠(chéng)信積分為0時(shí)，借車卡自動(dòng)鎖定，限制借車，用戶應(yīng)持卡到公共自行車服務(wù)中心以1元購(gòu)1個(gè)積分的形式再次激活該卡，為了鼓勵(lì)市民租用公共自行車出行，同時(shí)督促市民盡快還車，方便更多的市民使用，公共自行車按每車每次的租用時(shí)間進(jìn)行扣分繳費(fèi)，具體扣分標(biāo)準(zhǔn)如下：
①租用時(shí)間不超過(guò)1小時(shí)，免費(fèi)；
②租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)，扣1分；
③租用時(shí)間為2小時(shí)以上且不超過(guò)3小時(shí)，扣2分；
④租用時(shí)間為3小時(shí)以上且不超過(guò)4小時(shí)，扣3分；
⑤租車時(shí)間超過(guò)4小時(shí)除扣3分外，超出時(shí)間按每小時(shí)扣2分收費(fèi)（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）
甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用公共自行車一次，且兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)4小時(shí)，設(shè)甲、乙租用時(shí)間不超過(guò)一小時(shí)的概率分別是0.4，0.5；租用時(shí)間為1小時(shí)以上且不超過(guò)2小時(shí)的概率分別是0.3，0.3；租用時(shí)間為2小時(shí)以上且不超過(guò)3小時(shí)的概率分別是0.2，0.1．
（1）求甲、乙兩人所扣積分相同的概率；
（2）設(shè)甲、乙兩人所扣積分之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)，分別記“甲所付租車費(fèi)0元、1元、2元”為事件A₁，A₂，A₃，它們彼此互斥；分別記“乙所付租車費(fèi)0元、1元、2元”為事件B₁，B₂，B₃，它們也彼此互斥．記甲、乙兩人所付租車費(fèi)相同為事件M，則M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，由此可求事件M的概率．
（2）據(jù)題意ξ的可能取值為：0，1，2，3，4 其中ξ=0表示甲乙的付車費(fèi)均為0元，即事件A₁B₁ 發(fā)生；ξ=1表示甲乙共付1元車費(fèi)，即甲付1元乙付0元或甲付0元乙付1元，即事件A₁B₂+A₂B₁；ξ=2表示甲乙共付2元車費(fèi)，即甲付1元乙付1元或甲付0元乙付2元或甲付2元乙付0元，即事件A₂B₂+A₁B₃+A₃B₁；ξ=3表示甲乙共付3元車費(fèi)，即甲付1元乙付2元或甲付2元乙付1元，即事件A₂B₃+A₃B₂；ξ=4表示甲乙共付4元車費(fèi)，即甲付2元乙付2元，即事件A₃B₃．由此可求出隨機(jī)變量ξ的分布列，并由公式求出Eξ．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分別記“甲所付租車費(fèi)0元、1元、2元”為事件A₁，A₂，A₃，它們彼此互斥，
且P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.4，∴P（A₃）=1-0.4-0.5=0.1，
分別記“乙所付租車費(fèi)0元、1元、2元”為事件B₁，B₂，B₃，它們彼此互斥，
且P（B₁）=0.5，P（B₂）=0.3，∴P（B₃）=1-0.5-0.3=0.2．
由題知，事件A₁，A₂，A₃與事件B₁，B₂，B₃相互獨(dú)立，
記甲、乙兩人所付租車費(fèi)相同為事件M，則M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，
所以P（M）=P（A₁）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₃）
=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.2+0.15+0.02=0.37；6分
（2）據(jù)題意ξ的可能取值為：0，1，2，3，4，7分
P（ξ=0）=P（A₁）P（B₁）=0.2，
P（ξ=1）=P（A₁）P（B₂）+P（A₂）P（B₁）=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37，
P（ξ=2）=P（A₁）P（B₃）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₁）=0.4×0.2+0.5×0.3+0.1×0.5=0.28，
P（ξ=3）=P（A₂）P（B₃）+P（A₃）P（B₂）=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13，
P（ξ=4）=P（A₃）P（B₃）=0.1×0.2=0.02，
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	0.2	0.37	0.28	0.13	0.02

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×0.2+1×0.37+2×0.28+3×0.13+4×0.02=1.4，
甲、乙兩人所付租車費(fèi)相同的概率為0.37，ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1.4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．