Question

11．面對環(huán)境污染黨和政府高度重視，各級環(huán)保部門制定了嚴(yán)格措施治理污染，同時宣傳部門加大保護(hù)環(huán)境的宣傳力度，因此綠色低碳出行越來越成為市民的共識，為此某市在八里湖新區(qū)建立了公共自行車服務(wù)系統(tǒng)，市民憑本人二代身份證到公共自行車服務(wù)中心辦理誠信借車卡，初次辦卡時卡內(nèi)預(yù)先贈送20分，當(dāng)誠信積分為0時，借車卡自動鎖定，限制借車，用戶應(yīng)持卡到公共自行車服務(wù)中心以1元購1個積分的形式再次激活該卡，為了鼓勵市民租用公共自行車出行，同時督促市民盡快還車，方便更多的市民使用，公共自行車按每車每次的租用時間進(jìn)行扣分繳費，具體扣分標(biāo)準(zhǔn)如下：
①租用時間不超過1小時，免費；
②租用時間為1小時以上且不超過2小時，扣1分；
③租用時間為2小時以上且不超過3小時，扣2分；
④租用時間為3小時以上且不超過4小時，扣3分；
⑤租車時間超過4小時除扣3分外，超出時間按每小時扣2分收費（不足1小時的部分按1小時計算）
甲、乙兩人獨立出行，各租用公共自行車一次，且兩人租車時間都不會超過4小時，設(shè)甲、乙租用時間不超過一小時的概率分別是0.4，0.5；租用時間為1小時以上且不超過2小時的概率分別是0.3，0.3；租用時間為2小時以上且不超過3小時的概率分別是0.2，0.1．
（1）求甲、乙兩人所扣積分相同的概率；
（2）設(shè)甲、乙兩人所扣積分之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)，分別記“甲所付租車費0元、1元、2元”為事件A₁，A₂，A₃，它們彼此互斥；分別記“乙所付租車費0元、1元、2元”為事件B₁，B₂，B₃，它們也彼此互斥．記甲、乙兩人所付租車費相同為事件M，則M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，由此可求事件M的概率．
（2）據(jù)題意ξ的可能取值為：0，1，2，3，4 其中ξ=0表示甲乙的付車費均為0元，即事件A₁B₁ 發(fā)生；ξ=1表示甲乙共付1元車費，即甲付1元乙付0元或甲付0元乙付1元，即事件A₁B₂+A₂B₁；ξ=2表示甲乙共付2元車費，即甲付1元乙付1元或甲付0元乙付2元或甲付2元乙付0元，即事件A₂B₂+A₁B₃+A₃B₁；ξ=3表示甲乙共付3元車費，即甲付1元乙付2元或甲付2元乙付1元，即事件A₂B₃+A₃B₂；ξ=4表示甲乙共付4元車費，即甲付2元乙付2元，即事件A₃B₃．由此可求出隨機(jī)變量ξ的分布列，并由公式求出Eξ．

解答 解：（1）根據(jù)題意，分別記“甲所付租車費0元、1元、2元”為事件A₁，A₂，A₃，它們彼此互斥，
且P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.4，∴P（A₃）=1-0.4-0.5=0.1，
分別記“乙所付租車費0元、1元、2元”為事件B₁，B₂，B₃，它們彼此互斥，
且P（B₁）=0.5，P（B₂）=0.3，∴P（B₃）=1-0.5-0.3=0.2．
由題知，事件A₁，A₂，A₃與事件B₁，B₂，B₃相互獨立，
記甲、乙兩人所付租車費相同為事件M，則M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，
所以P（M）=P（A₁）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₃）
=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.2+0.15+0.02=0.37；6分
（2）據(jù)題意ξ的可能取值為：0，1，2，3，4，7分
P（ξ=0）=P（A₁）P（B₁）=0.2，
P（ξ=1）=P（A₁）P（B₂）+P（A₂）P（B₁）=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37，
P（ξ=2）=P（A₁）P（B₃）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₁）=0.4×0.2+0.5×0.3+0.1×0.5=0.28，
P（ξ=3）=P（A₂）P（B₃）+P（A₃）P（B₂）=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13，
P（ξ=4）=P（A₃）P（B₃）=0.1×0.2=0.02，
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4
P	0.2	0.37	0.28	0.13	0.02

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×0.2+1×0.37+2×0.28+3×0.13+4×0.02=1.4，
甲、乙兩人所付租車費相同的概率為0.37，ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=1.4．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式和相互獨立事件概率乘法公式的合理運用．