Question

【題目】已知數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為Sn，，且對(duì)任意的n∈N*，n≥2都有。

（1）若0，，求r的值；

（2）數(shù)列｛｝能否是等比數(shù)列？說明理由；

（3）當(dāng)r＝1時(shí)，求證：數(shù)列｛｝是等差數(shù)列。

Answer 1

【答案】（1）1；（2）不可能是等比數(shù)列；（3）詳見解析.

【解析】

（1）令，得到，再將和用項(xiàng)來表示，再結(jié)合條件，求得結(jié)果；

（2）假設(shè)其為等比數(shù)列，利用，結(jié)合，得到關(guān)于的方程，求解得出或，將其回代檢驗(yàn)得出答案；

（3）將r＝1代入上式，類比著寫出，兩式相減得到，進(jìn)一步湊成，結(jié)合，從而證得數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

（1）令n＝2，得：，

即：，

化簡(jiǎn)，得：，因?yàn)椋?/span>，，

所以，，解得：r＝1.

（2）假設(shè)是等比數(shù)列，公比為，則，且，

解得或，

由，

可得，

所以，

兩式相減，整理得，

兩邊同除以，可得，

因?yàn)?/span>，所以，

所以上式不可能對(duì)任意恒成立，故不可能是等比數(shù)列.

（3）時(shí)，令，整理得，

又由可知，

令，可得，解得，

由（2）可知，

所以，

兩式相減，整理得，

所以，

兩式相減，可得，

因?yàn)?/span>，所以，

即，又因?yàn)?/span>，

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.