Question

20．已知F₁，F(xiàn)₂是橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為1，則∠F₁PF₂的余弦值為$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 作出圖形，利用內(nèi)切圓的性質(zhì)與橢圓的定義及半角公式即可求得cos∠F₁PF₂的值．

解答 解：根據(jù)題意作圖如下，設(shè)△PF₁F₂的內(nèi)切圓心為M，則內(nèi)切圓的半徑|MQ|=1，設(shè)圓M與x軸相切于R，

∵橢圓的方程為$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$，
∴橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（-3，0），F(xiàn)₂（3，0），
∴|F₁F₂|=6，設(shè)|F₁R|=x，則|F₂R|=6-x，
依題意得，|F₁S|=|F₁R|=x，|F₂Q|=|F₂R|=6-x，
設(shè)|PS|=|PQ|=y，
∵|PF₁|=x+y，|PF₂|=（6-x）+y，|PF₁|+|PF₂|=10，
∴x+y+（6-x）+y=10，
∴y=2，即|PQ|=2，又|MQ|=1，MQ⊥PQ，
∴tan∠MPQ=$\frac{1}{2}$，
∴cos∠F₁PF₂=cos2∠MPQ=$\frac{1-ta{n}^{2}∠MPQ}{1+ta{n}^{2}∠MPQ}=\frac{1-\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{3}{5}$．
故答案為：$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查內(nèi)切圓的性質(zhì)及半角公式，考查分析問題，通過(guò)轉(zhuǎn)化思想解決問題的能力，屬于難題．