Question

12．對于定義域為D的函數(shù)f（x）=k+$\sqrt{x+2}$，滿足存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，求實數(shù)k的取值范圍$（-\frac{9}{4}，-2]$．

Answer 1

分析 先判斷函數(shù)的定義域和單調性，根據(jù)函數(shù)定義域和值域之間的關系建立方程組，構造函數(shù)進行求解即可．

解答 解：若f（x）=k+$\sqrt{x+2}$滿足條件．
∵函數(shù)f（x）=k+$\sqrt{x+2}$在[-2，+∞）上是增函數(shù)，
即$\left\{\begin{array}{l}a=k+\sqrt{a+2}\\ b=k+\sqrt{b+2}\end{array}\right.$，
∴a，b為方程$x=k+\sqrt{x+2}$的兩個實數(shù)根，
即k=x-$\sqrt{x+2}$在x≥-2時有兩個不同的根，
設t=$\sqrt{x+2}$，則x=t²-2，
則方程等價為k=t²-2-t，在t≥0有兩個不等的實根，
設g（t）=t²-2-t，在t≥0，
作出g（t）的圖象如圖：
當t=0時，g（0）=-2，
g（t）=t²-2-t=（t-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$，
則g（t）的最小值為-$\frac{9}{4}$，
∴要使y=k與g（t）有兩個不同的交點，
則$-\frac{9}{4}＜k≤-2$，
故答案為：$（-\frac{9}{4}，-2]$

點評 本題主要考查函數(shù)值域的應用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的單調性，根據(jù)單調性建立方程，然后轉化為一元二次函數(shù)是解決本題的關鍵．