Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+1+lnx
（Ⅰ）若f（x）無極值點，但其導函數(shù)f′（x）有零點，求a的取值；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點，求a的取值范圍，并證明f（x）的極小值小于$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，x＞0利用f′（x）有零點而f（x）無極值點，表明該零點左右f′（x）同號，故△=0．由此可得；
（Ⅱ）先由題意，2ax²-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$，再設2ax²-2x+1=0的兩根為x₁，x₂，根據(jù)函數(shù)的單調性證出結論即可．

解答 解 （Ⅰ）首先，x＞0，f′（x）=2ax-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-2x+1}{x}$，
∵f′（x）有零點而f（x）無極值點，表明該零點左右f′（x）同號，
∴a≠0，且2ax²-2x+1=0的△=0．由此可得a=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由題意，2ax²-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，a＞0，
解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$，
設2ax²-2x+1=0的兩根為x₁，x₂，不妨設x₁＜x₂，
則x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2a}$＞1，
∴f（x₂）＜f（1）=a-2+1＜-$\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了導數(shù)的應用，解決本題時要注意題目中所應用的函數(shù)的思想，要使的函數(shù)無極值點，表明該零點左右f′（x）同號即可，這種思想經常用到．