Question

18．已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+1+lnx
（Ⅰ）若f（x）無極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)f′（x）有零點(diǎn)，求a的取值；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點(diǎn)，求a的取值范圍，并證明f（x）的極小值小于$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，x＞0利用f′（x）有零點(diǎn)而f（x）無極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右f′（x）同號，故△=0．由此可得；
（Ⅱ）先由題意，2ax²-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$，再設(shè)2ax²-2x+1=0的兩根為x₁，x₂，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證出結(jié)論即可．

解答 解 （Ⅰ）首先，x＞0，f′（x）=2ax-2+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}-2x+1}{x}$，
∵f′（x）有零點(diǎn)而f（x）無極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右f′（x）同號，
∴a≠0，且2ax²-2x+1=0的△=0．由此可得a=$\frac{1}{2}$．
（Ⅱ）由題意，2ax²-2x+1=0有兩不同的正根，故△＞0，a＞0，
解得：0＜a＜$\frac{1}{2}$，
設(shè)2ax²-2x+1=0的兩根為x₁，x₂，不妨設(shè)x₁＜x₂，
則x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2a}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2a}$＞1，
∴f（x₂）＜f（1）=a-2+1＜-$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解決本題時(shí)要注意題目中所應(yīng)用的函數(shù)的思想，要使的函數(shù)無極值點(diǎn)，表明該零點(diǎn)左右f′（x）同號即可，這種思想經(jīng)常用到．