Question

8．已知函數(shù)f（x）=（2-x） e^x，曲線f（x）在x=0處的切線方程為l．
（1）求證：當x≥0時，f（x）圖象在l下方；
（2）若n∈N^*，求證：f（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+$\frac{1}{e^2}$f（2-$\frac{1}{n}$）≤2+$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）先求出切線方程，再構(gòu)造g（x）=（2-x） e^x-x-2，證明g（x）遞減，又g（0）=0，所以g（x）≤0，即可得出結(jié)論；
（2）由（1）知：（2-x） e^x≤x-2，則$f（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）＜2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，設h（x）=e^x-x-1，h'（x）=e^x-1，證明 e^x＞x+1在x≥0時恒成立，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）f'（x）=（1-x） e^x，f（0）=2，f'（0）=1，所以l：y=x+2…（1分）
設g（x）=（2-x） e^x-x-2，g'（x）=f（x）-（x+2）=（1-x） e^x-1，…（2分）
g''（x）=-x e^x，當x≥0時，g''（x）＜0，g'（x）遞減，
又g'（0）=0，∴g'（x）≤0，…（4分）
所以g（x）遞減，
又g（0）=0，所以g（x）≤0，
所以f（x）≤x+2，即f（x）圖象在l下方…（5分）
（2）由（1）知：（2-x） e^x≤x-2，則$f（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）＜2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$…（6分）
設h（x）=e^x-x-1，h'（x）=e^x-1，
當x≥0時，h'（x）＞0，所以h（x）=e^x-x-1在x≥0時遞增，而h（0）=0，
所以h（x）＞0，即e^x＞x+1在x≥0時恒成立，
所以${e^{\frac{1}{n}}}＞\frac{1}{n}+1$，所以$\frac{1}{{{e^{\frac{1}{n}}}}}＜\frac{1}{{\frac{1}{n}+1}}$，即${e^{-\frac{1}{n}}}＜\frac{n}{n+1}$．…（10分）
于是$\frac{1}{e^2}f（2-\frac{1}{n}）=\frac{1}{e^2}[2-（2-\frac{1}{n}）]{e^{2-\frac{1}{n}}}=\frac{1}{n}{e^{-\frac{1}{n}}}＜\frac{1}{n+1}$，…（11分）
所以$f（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）+\frac{1}{e^2}f（2-\frac{1}{n+1}）＜2+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}=2+\frac{1}{n}$…（12分）

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查導數(shù)的幾何意義，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．