Question

2．設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，求證：$\frac{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+^{2}}}{2}$≥$\sqrt{1+（\frac{a+b}{2}）^{2}}$．

Answer 1

分析 運(yùn)用分析法證明，通過(guò)兩邊平方和移項(xiàng)合并，化簡(jiǎn)整理，即可得證．

解答 證明：運(yùn)用分析法證明．
要證$\frac{\sqrt{1+{a}^{2}}+\sqrt{1+^{2}}}{2}$≥$\sqrt{1+（\frac{a+b}{2}）^{2}}$，
兩邊平方，即證1+a²+1+b²+2$\sqrt{（1+{a}^{2}）（1+^{2}）}$≥4+（a+b）²，
移項(xiàng)，合并，可得$\sqrt{（1+{a}^{2}）（1+^{2}）}$≥ab+1，
若ab+1≤0，上式顯然成立；
若ab+1＞0，兩邊平方，可得（1+a²）（1+b²）≥a²b²+2ab+1，
化為a²+b²≥2ab，即有（a-b）²≥0，
上式顯然成立．
故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用分析法證明，兩邊平方和化簡(jiǎn)變形是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．