Question

12．已知$\overrightarrow{OA}$=（6，-2），$\overrightarrow{OB}$=（-1，2），若$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{OB}$，且$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{OA}$．
（1）求$\overrightarrow{BC}$；
（2）求$\overrightarrow{BC}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角θ

Answer 1

分析 （1）利用兩個向量垂直、共線的性質(zhì)，利用兩個向量坐標形式的運算法則，求得點C的坐標，可得$\overrightarrow{BC}$．
（2）利用兩個向量夾角公式，求得cosθ的值，可得θ的值．

解答 解：（1）∵已知$\overrightarrow{OA}$=（6，-2），$\overrightarrow{OB}$=（-1，2），若$\overrightarrow{OC}$⊥$\overrightarrow{OB}$，且$\overrightarrow{BC}$∥$\overrightarrow{OA}$，
設(shè)$\overrightarrow{OC}$=（x，y），則$\overrightarrow{BC}$=（x+1，y-2），且$\left\{\begin{array}{l}{-x+2y=0}\\{\frac{x+1}{6}=\frac{y-2}{-2}}\end{array}\right.$，
求得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{BC}$=（3，-1）．
（2）設(shè)$\overrightarrow{BC}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，∵cosθ=$\frac{\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{BC}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{-3-2}{\sqrt{10}•\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=$\frac{3π}{4}$．

點評 本題主要考查兩個向量垂直、共線的性質(zhì)，兩個向量坐標形式的運算，兩個向量夾角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．