11.已知?x∈(0,+∞),[(m-1)x-1](2x-2)≥0恒成立,則m的值為2.

分析 對(duì)m≤1和m>1分類,若m≤1,由x>0,可得(m-1)x-1<0,可知[(m-1)x-1](x2-mx-1)≥0不恒成立,因此m>1,由(m-1)x-1=0,解得x的值,而方程2x-2=0的解是1,得到$\frac{1}{m-1}$=1,解出即可.

解答 解:若m≤1,∵x>0,∴(m-1)x-1<0,
又y=2x-2遞增,x→+∞時(shí),y→+∞,
∴[(m-1)x-1](2x-2)≥0不恒成立,
因此m>1,
由(m-1)x-1=0,解得x=$\frac{1}{m-1}$>0,
而方程2x-2=0,解得:x=1,
要使?x∈(0,+∞),[(m-1)x-1](x2-mx-1)≥0恒成立,
∴x=$\frac{1}{m-1}$必定是方程2x-2=0的根,
故$\frac{1}{m-1}$=1,解得:m=2,
故答案為:2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問(wèn)題,關(guān)鍵是掌握等價(jià)轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力和計(jì)算能力,將條件轉(zhuǎn)化為方程(m-1)x-1=0與2x-2=0在(0,+∞)上有相同零點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵,綜合性強(qiáng),難度較大.

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