Question

13．某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5min，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7min，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4min，已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)10h，若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可利潤(rùn)5元，生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤(rùn)6元，生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤(rùn)3元，怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析 假設(shè)生產(chǎn)衛(wèi)兵x個(gè)，生產(chǎn)騎兵y個(gè)，則生產(chǎn)傘兵（100-x-y）個(gè)，于是利潤(rùn)為z=5x+6y+3（100-x-y）=2x+3y+300．利用生產(chǎn)時(shí)間和生產(chǎn)個(gè)數(shù)限制列出約束條件，作出平面區(qū)域，根據(jù)線性規(guī)劃知識(shí)求出最優(yōu)解．

解答 解：假設(shè)生產(chǎn)衛(wèi)兵x個(gè)，生產(chǎn)騎兵y個(gè)，則生產(chǎn)傘兵（100-x-y）個(gè)．
則$\left\{\begin{array}{l}{5x+7y+4（100-x-y）≤600}\\{0≤x≤100}\\{0≤y≤100}\\{0≤100-x-y≤100}\\{x，y，z∈N}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+3y≤200}\\{0≤x≤100}\\{0≤y≤100}\\{0≤x+y≤100}\end{array}\right.$．
作出平面區(qū)域如圖所示：

設(shè)每天的利潤(rùn)為z，則z=5x+6y+3（100-x-y）=2x+3y+300．
∴y=-$\frac{2}{3}x$-100+$\frac{z}{3}$．
由平面區(qū)域可知當(dāng)直線y=-$\frac{2}{3}x$-100+$\frac{z}{3}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，截距最大，即z最大．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+y=100}\\{x+3y=200}\end{array}\right.$，解得x=y=50．
∴當(dāng)x=y=50時(shí)，z取得最大值2×50+3×50+300=550．
答：每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個(gè)，騎兵50個(gè)，傘兵0個(gè)時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為550元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，列出約束條件，得出目標(biāo)函數(shù)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．