Question

9．在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=t-3}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），在以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
（1）求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可把極坐標方程化為直角坐標方程，消去參數(shù)即可得到普通方程；
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程y²=2x，得t²-8t+7=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可得出．

解答 解：（1）由曲線C的極坐標方程是：$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$，得ρ²sin²θ=2ρcosθ．
∴由曲線C的直角坐標方程是：y²=2x．
由直線l的參數(shù)方程$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=t-3}\end{array}}\right.$，得t=3+y代入x=1+t中消去t得：x-y-4=0，
所以直線l的普通方程為：x-y-4=0．
（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程y²=2x，得t²-8t+7=0，
設(shè)A，B兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，
則t₁+t₂=8，t₁t₂=7．
則$|{AB}|=\sqrt{2}|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{2}\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{2}\sqrt{{8^2}-4×7}=6\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、參數(shù)的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．