Question

20．為了解班級(jí)學(xué)生對(duì)任課教師課堂教學(xué)的滿意程度情況．現(xiàn)從某班全體學(xué)生中，隨機(jī)抽取12名，測(cè)試的滿意度分?jǐn)?shù)（百分制）如莖葉圖所示：
根據(jù)學(xué)校體制標(biāo)準(zhǔn)，成績不低于76的為優(yōu)良．
（Ⅰ）從這12名學(xué)生中任選3人進(jìn)行測(cè)試，求至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率；
（Ⅱ）從抽取的12人中隨機(jī)選取3人，記ξ表示測(cè)試成績“優(yōu)良”的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （I）由莖葉圖可知，抽取的12人中成績是“優(yōu)良”的有9人，由題意可知，從該校學(xué)生中任選1人，成績是“優(yōu)良”的概率為$\frac{3}{4}$，設(shè)事件A表示“在該校學(xué)生中任選3人，至少有1人成績是“優(yōu)良”，由此利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式能求出至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率．
（Ⅱ）由題意可得，ξ的可能取值為0，1，2，3．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和期望E（ξ）．

解答 解：（I）由莖葉圖可知，抽取的12人中成績是“優(yōu)良”的有9人，頻率為$\frac{3}{4}$，
由題意可知，從該校學(xué)生中任選1人，成績是“優(yōu)良”的概率為$\frac{3}{4}$，
設(shè)事件A表示“在該校學(xué)生中任選3人，至少有1人成績是“優(yōu)良””，
則P（A）=1-${C}_{3}^{3}（1-\frac{3}{4}）^{3}$=$\frac{63}{64}$，
∴至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率為$\frac{63}{64}$．（6分）
（Ⅱ）由題意可得，ξ的可能取值為0，1，2，3．
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{220}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{220}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{9}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{55}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{21}{55}$．
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{21}{55}$

所以ξ的期望E（ξ）=$0×\frac{1}{220}+1×\frac{27}{220}+2×\frac{27}{55}+3×\frac{21}{55}$=$\frac{9}{4}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．