Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f（x）=（b-2）x²+2bx-1的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C．
（1）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（2）求圓C的方程；
（3）圓C過(guò)定點(diǎn)（即坐標(biāo)與b無(wú)關(guān)）嗎？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由題意知，由拋物線與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)可知拋物線不過(guò)原點(diǎn)即b不等于0，然后拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)即令f（x）=0的根的判別式大于0即可求出b的范圍；
（2）設(shè)出圓的一般式方程，根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可知：令y=0得到與f（x）=0一樣的方程；令x=0得到方程有一個(gè)根是b即可求出圓的方程；
（3）設(shè)圓的方程過(guò)定點(diǎn)（x₀，y₀），將其代入圓的方程變形為b（x₀²+y₀²+2x₀+y₀）+（-2x₀²-2y₀²-3y₀-1）=0，因?yàn)閤₀，y₀不依賴于b得取值，所以得到x₀²+y₀²+2x₀+y₀=0且-2x₀²-2y₀²-3y₀-1=0，即可求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）令x=0，得拋物線與y軸交點(diǎn)是（0，-1）；
令f（x）=（b-2）x²+2bx-1=0，由題意b-2≠0且△＞0，解得b＜-2或b＞1且b≠2．
（2）設(shè)所求圓的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
令y=0得x²+Dx+F=0這與（b-2）x²+2bx-1=0是同一個(gè)方程，故D=$\frac{2b}{b-2}$，F(xiàn)=-$\frac{1}{b-2}$．
令x=0得y²+Ey+F=0，方程有一個(gè)根為-1，代入得出E=1+F=$\frac{b-3}{b-2}$．
所以圓C的方程為x²+y²+$\frac{2b}{b-2}$x+$\frac{b-3}{b-2}$y-$\frac{1}{b-2}$=0．
（3）圓C必過(guò)定點(diǎn)，證明如下：
假設(shè)圓C過(guò)定點(diǎn)（x₀，y₀）（x₀，y₀不依賴于b），將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，
并變形為b（x₀²+y₀²+2x₀+y₀）+（-2x₀²-2y₀²-3y₀-1）=0（*）
為使（*）式對(duì)所有滿足b＜-2或b＞1且b≠2的b都成立，必須有x₀²+y₀²+2x₀+y₀=0且-2x₀²-2y₀²-3y₀-1=0
解得x₀=0，y₀=-1或x₀=$\frac{2}{17}$，y₀=-$\frac{9}{17}$
因此圓C過(guò)定點(diǎn)（$\frac{2}{17}$，-$\frac{9}{17}$）和（0，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．