Question

【題目】某地要建造一個(gè)邊長(zhǎng)為2（單位：）的正方形市民休閑公園，將其中的區(qū)域開挖成一個(gè)池塘，如圖建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)的坐標(biāo)為，曲線是函數(shù)圖像的一部分，過邊上一點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)作一次函數(shù)（）的圖像，與線段交于點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），且線段與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，四邊形為綠化風(fēng)景區(qū).

（1）求證：；

（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

①用表示、兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

②將四邊形的面積表示成關(guān)于的函數(shù)，并求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）①M（，0），N（，2）②S＝4﹣（t），其中0＜t＜1，S的最大值是4．

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)y＝ax2過點(diǎn)D，求出解析式y＝2x2；

由消去y，利用△＝0證明結(jié)論成立；

（2）①寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)（t，2t2），代入直線MN的方程，用t表示出直線方程，

利用直線方程求出M、N的坐標(biāo)；

②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)S（t），

利用基本不等式即可求出S的最大值．

（1）函數(shù)y＝ax2過點(diǎn)D（1，2），

代入計(jì)算得a＝2，

∴y＝2x2；

由，消去y得2x2﹣kx﹣b＝0，

由線段MN與曲線OD有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，

得△＝（﹣k）2﹣4×2×b＝0，

解得b；

（2）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，則0＜t＜1，

∴點(diǎn)P（t，2t2）；

①直線MN的方程為y＝kx+b，

即y＝kx過點(diǎn)P，

∴kt2t2，

解得k＝4t；

y＝4tx﹣2t2

令y＝0，解得x，∴M（，0）；

令y＝2，解得x，∴N（，2）；

②將四邊形MABN的面積S表示成關(guān)于t的函數(shù)為

S＝S（t）＝2×22×[（）]＝4﹣（t），其中0＜t＜1；

由t2，當(dāng)且僅當(dāng)t，即t時(shí)“＝”成立，

所以S≤4；即S的最大值是4．