Question

函數(shù)f（x）=x²-mx（m＞0）在區(qū)間[0，2]上的最小值記為g（m）
（Ⅰ）若0＜m≤4，求函數(shù)g（m）的解析式；
（Ⅱ）定義在（-∞，0）∪（0，+∞）的函數(shù)h（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）=g（x），若h（t）＞h（4），求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）f（x）=(x-

m

2

)2-

m2

4

．由0＜m≤4，可得0＜

m

2

≤2，對(duì)m分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（II）由題意可得：當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）=g（x）=-

x2

4

，由于h（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函數(shù)，可得h（x）=-

x2

4

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．由于h（t）＞h（4），h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，可得|t|＜4，解出即可．

解答： 解：（I）f（x）=(x-

m

2

)2-

m2

4

．
當(dāng)0＜m＜4時(shí)，0＜

m

2

＜2，∴函數(shù)f（x）在[0，

m

2

)上時(shí)單調(diào)遞減，在(

m

2

，2]上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)x=

m

2

時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，f(

m

2

)=-

m2

4

．
當(dāng)m=4時(shí)，

m

2

=2，函數(shù)f（x）在[0，2]內(nèi)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=

m

2

=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，f(

m

2

)=-

m2

4

=-1．
綜上可得：g（m）=-

m2

4

．
（II）由題意可得：當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）=g（x）=-

x2

4

，∵h(yuǎn)（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函數(shù)，
∴h（x）=-

x2

4

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
∵h(yuǎn)（t）＞h（4），及h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴|t|＜4，
解得-4＜t＜4，且t≠0．
∴t的取值范圍是（-4，0）∪（0，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性及其單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．