Question

函數f（x）=x²-mx（m＞0）在區(qū)間[0，2]上的最小值記為g（m）
（Ⅰ）若0＜m≤4，求函數g（m）的解析式；
（Ⅱ）定義在（-∞，0）∪（0，+∞）的函數h（x）為偶函數，且當x＞0時，h（x）=g（x），若h（t）＞h（4），求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質,二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（I）f（x）=(x-

m

2

)2-

m2

4

．由0＜m≤4，可得0＜

m

2

≤2，對m分類討論，利用二次函數的單調性即可得出．
（II）由題意可得：當x＞0時，h（x）=g（x）=-

x2

4

，由于h（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函數，可得h（x）=-

x2

4

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．由于h（t）＞h（4），h（x）在（0，+∞）上單調遞減，可得|t|＜4，解出即可．

解答： 解：（I）f（x）=(x-

m

2

)2-

m2

4

．
當0＜m＜4時，0＜

m

2

＜2，∴函數f（x）在[0，

m

2

)上時單調遞減，在(

m

2

，2]上單調遞增．
∴當x=

m

2

時，函數f（x）取得最小值，f(

m

2

)=-

m2

4

．
當m=4時，

m

2

=2，函數f（x）在[0，2]內單調遞減，∴當x=

m

2

=2時，函數f（x）取得最小值，f(

m

2

)=-

m2

4

=-1．
綜上可得：g（m）=-

m2

4

．
（II）由題意可得：當x＞0時，h（x）=g（x）=-

x2

4

，∵h（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）的偶函數，
∴h（x）=-

x2

4

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）．
∵h（t）＞h（4），及h（x）在（0，+∞）上單調遞減，
∴|t|＜4，
解得-4＜t＜4，且t≠0．
∴t的取值范圍是（-4，0）∪（0，4）．

點評：本題考查了二次函數的單調性、函數的奇偶性及其單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．