【題目】如圖,在五面體中,四邊形為矩形, 為等邊三角形,且平面平面, .
(1)證明:平面平面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:
(1)取DE中點G,于是AG⊥DE,由面面垂直的性質(zhì)定理可得AG⊥面CDEF,則AG⊥DC,又CD⊥AD,由線面垂直的判斷定理可得CD⊥面ADE,即面ADE⊥面ABCD.
(2)取AD中點O,以O為坐標原點,OA、OE為x、z軸建系.由題意可得:平面FBC的法向量為,平面BCD的法向量為,則二面角F-BC-D的余弦值為.
試題解析:
(1)證明:取DE中點G,于是AG⊥DE,
又面ADE⊥面CDEF,且面ADE∩面CDEF=DE,所以AG⊥面CDEF,
則AG⊥DC,又CD⊥AD,所以CD⊥面ADE,
即面ADE⊥面ABCD.
(2)解:取AD中點O,于是EO⊥面ABCD,所以,如圖:
以O為坐標原點,OA、OE為x、z軸建系.設(shè)OA長度為1,
于是點坐標為: ,
因為CD∥AB,所以AB∥平面CDEF,又平面ABEF∩平面CDEF=EF,則EF∥AB;
所以設(shè),所以點.
那么,由于BF⊥DF,
所以,解得.于是,
進而面FBC的法向量為,
又面BCD的法向量為,記二面角F-BC-D為,所以
,又因為是銳角,所以二面角F-BC-D的余弦值為.
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【題目】已知函數(shù)
(I)若,函數(shù)的極大值為,求實數(shù)的值;
(Ⅱ)若對任意的 在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
()若是函數(shù)的一個極值點,求實數(shù)的值.
()設(shè),當時,函數(shù)的圖象恒不在直線的上方,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,正方形的邊長為,已知,將沿邊折起,折起后點在平面上的射影為點,則翻折后的幾何體中有如下描述:
①與所成角的正切值是;
②;
③是;
④平面平面;
⑤直線與平面所成角為30°.
其中正確的有________.(填寫你認為正確的序號)
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【題目】拋物線的圖象關(guān)于軸對稱,頂點在坐標原點,點在拋物線上.
(1)求拋物線的標準方程;
(2)設(shè)直線的方程為,若直線與拋物線交于兩點,且以為直徑的圓過點,求的值.
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【題目】如圖,在三棱柱中,底面ABC為正三角形,底面ABC,,點在線段上,平面平面.
(1)請指出點的位置,并給出證明;
(2)若,求與平面ABE夾角的正弦值.
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【題目】已知四棱錐,底面為正方形,且底面,過的平面與側(cè)面的交線為,且滿足(表示的面積).
(1)證明: 平面;
(2)當時,求點到平面的距離.
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【題目】已知函數(shù)函數(shù)為,其中為常數(shù).
(1)當時,求的最大值;
(2)若在區(qū)間(為自然對數(shù)的底數(shù))上的最大值為-3,求的值.
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