Question

8．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=m，PA=PC=$\sqrt{2}$m，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則此球的最大半徑是（　　）

• A． $\frac{1}{3}$（2-$\sqrt{2}$）m
• B． $\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{2}$）m
• C． $\frac{1}{2}$（2-$\sqrt{2}$）m
• D． $\frac{1}{6}$（2+$\sqrt{2}$）m

Answer 1

分析 此球內(nèi)切于四棱錐時(shí)，半徑最大，設(shè)該四棱錐的內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，連接OA，OB，OC，OD，OP，則V_P-ABCD=V_O-ABCD+V_O-PAD+V_O-PAB+V_O-PBC+V_O-PCD，由此能求出此球的最大半徑．

解答 解：由題知，此球內(nèi)切于四棱錐時(shí)，半徑最大，
設(shè)該四棱錐的內(nèi)切球的球心為O，半徑為r，
連接OA，OB，OC，OD，OP，
則V_P-ABCD=V_O-ABCD+V_O-PAD+V_O-PAB+V_O-PBC+V_O-PCD，
即$\frac{1}{3}$×m²×m=$\frac{1}{3}$×m²×r+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×m²×r+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$m²×r+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$m²×r+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×m²×r，
解得r=$\frac{1}{2}$（2-$\sqrt{2}$）m，
所以此球的最大半徑是$\frac{1}{2}$（2-$\sqrt{2}$）m．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查球的最大半徑的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．