Question

11．已知數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，S_n=1+ta_n（t≠1且t≠0，n∈N*）
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列
（2）若$\lim_{n→∞}$S_n=1，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用條件，再寫一式，兩式相減，即可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列
（2）若$\lim_{n→∞}$S_n=1，$\lim_{n→∞}$[1-$（\frac{t}{t-1}）^{n}$]=1，可得0＜|$\frac{t}{t-1}$|＜1，即可求實數(shù)t的取值范圍．

解答 （1）證明：∵S_n=1+ta_n，
∴n≥2時，S_n-1=1+ta_n-1，
兩式相減可得a_n=ta_n-ta_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{t}{t-1}$，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）解：由題意，S₁=1+ta₁，∴a₁=$\frac{1}{1-t}$，∴a_n=$\frac{1}{1-t}•（\frac{t}{t-1}）^{n-1}$，
若$\lim_{n→∞}$S_n=1，則$\lim_{n→∞}$[1-$（\frac{t}{t-1}）^{n}$]=1，
∴0＜|$\frac{t}{t-1}$|＜1，
∴$t＜\frac{1}{2}$，
∵t≠1且t≠0，
∴$t＜\frac{1}{2}$，且t≠0．

點評 本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的極限，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．