Question

已知橢圓的離心率為，且過點

（1）求橢圓的標準方程：

（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC，BD過原點O，若

①求的最值：

②求證：四邊形ABCD的面積為定值.

Answer 1

（1）；（2）①的最小值為，最大值為；②.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)離心率寫出有關的等式，將點代入橢圓方程，同時橢圓中三個等式聯(lián)立求得的值，得到所求橢圓的方程；（2）①直線的斜率存在時與（1）中的橢圓方程聯(lián)立，又韋達定理得到，同時又得到，化簡得到關于和的關系，所以要求的，根據(jù)函數(shù)單調性求得；當直線的斜率不存在時得到,綜上得到的最小值為，最大值為；②根據(jù)已知條件及橢圓的對稱性知，由弦長公式及點到直線的距離公式，得到,進而得到四邊形的面積為定值.

試題解析：;

（2）設

，

.

考點：1.橢圓的標準方程；2.韋達定理；3.弦長公式.