Question

10．已知橢圓C的左、右焦點分別為$（-\sqrt{3}，0）$、$（\sqrt{3}，0）$，且經(jīng)過點$（1，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$．
（1）求橢圓C的方程：
（2）直線y=kx（k∈R，k≠0）與橢圓C相交于A，B兩點，D點為橢圓C上的動點，且|AD|=|BD|，請問△ABD的面積是否存在最小值？若存在，求出此時直線AB的方程：若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{3}{4}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，求出a，b，即可求出橢圓C的方程；
（2）設直線AB的方程為y=kx，與橢圓方程聯(lián)立，求出A的坐標，同理可得點C的坐標，進而表示出△ABD的面積，利用基本不等式，即可得出結論．

解答 解：（1）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{c=\sqrt{3}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{3}{4}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，∴a=2，b=1，
∴橢圓C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1；
（2）D在AB的垂直平分線上，∴OD：y=-$\frac{1}{k}$x．
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，可得（1+4k²）x²=4，|AB|=2|OA|=2$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=4$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{4{k}^{2}+1}}$，
同理可得|OC|=2$\sqrt{\frac{{k}^{2}+1}{{k}^{2}+4}}$，
則S_△ABC=2S_△OAC=|OA|×|OC|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}}$．
由于$\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}$≤$\frac{5（1+{k}^{2}）}{2}$，
所以S_△ABC=2S_△OAC≥$\frac{8}{5}$，當且僅當1+4k²=k²+4，即k=±1時取等號．△ABD的面積取最小值$\frac{8}{5}$．
直線AB的方程為y=x．

點評 本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．