Question

8．Rt△ABC中，∠C為直角，CD為斜邊上的高h(yuǎn)，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，與Rt△ABC相對(duì)應(yīng)的是直角三棱錐P-ABC，即在頂點(diǎn)P處構(gòu)成3個(gè)直二面角．三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為PA=a，PB=b，PC=c，高PO=h，四面體P-ABC的面△PAB，△PAC，△PBC的面積分別為s₁，s₂，s₃，底面△ABC的面積為s．
（1）在直角三角形ABC中有結(jié)論$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$，由此猜想四面體P-ABC中的結(jié)論：$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$；
在直角三角形ABC中有勾股定理c²=a²+b²，類(lèi)比直角三角形的勾股定理，猜想，在四面體P-ABC中有：$s_1^2+s_2^2+s_3^2={s^2}$成立．
（2）上述猜想都是正確的嗎？試證明第二個(gè)猜想．

Answer 1

分析 立體幾何中的類(lèi)比推理主要是基本元素之間的類(lèi)比：平面?空間，點(diǎn)?點(diǎn)或直線(xiàn)，直線(xiàn)?直線(xiàn)或平面，平面圖形?平面圖形或立體圖形，故本題由平面上的直角三角形中的邊與高的關(guān)系式類(lèi)比立體中兩兩垂直的棱的三棱錐中邊與高的關(guān)系即可．

解答 解：（1）$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$；
（2）$s_1^2+s_2^2+s_3^2={s^2}$．
證明如下：如圖作PO垂直底面△ABC于O點(diǎn)，連接AO并延長(zhǎng)交BC于D，連接PD，易證AD⊥BC，PD⊥BC，在Rt△PAD中，由射影定理得PD²=OD•AD，

${S^2}_{△PBC}={（\frac{1}{2}BC•PD）^2}=\frac{1}{4}B{C^2}•P{D^2}=\frac{1}{4}B{C^2}•OD•AD$
=$（\frac{1}{2}BC•OD）（\frac{1}{2}BC•AD）={S_{△ABC}}•{S_{△OBC}}$
同理可證：S²_△PBA=S_△ABC•S_△OBA，S²_△PCA=S_△ABC•S_△OCA
所以：S²_△PBA+S²_△PCA+S²_△PBC=S_△ABC（•S_△OBC+S_△OAB+S_△OAC）=S²_△ABC
即：$s_1^2+s_2^2+s_3^2={s^2}$；猜想成立．
故答案為：$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$；$s_1^2+s_2^2+s_3^2={s^2}$．

點(diǎn)評(píng) 類(lèi)比推理是指依據(jù)兩類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)類(lèi)比遷移到另一類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象上去．其思維過(guò)程大致是：觀察、比較 聯(lián)想、類(lèi)推 猜測(cè)新的結(jié)論．